《一次函数的应用》的教学设计方案
学科：数学 作者: 姜可娇
一、设计思想
函数是刻画现实世界中数量变化规律的重要数学模型，所以本节课利用4个实际生活中常见的问题，通过简单的建模过程，进一步让学生理解函数的概念。每道例题的设计意图不同，分别复习了函数中一些基本概念、求函数解析式的基本方法。题目包含了函数的三种表示形式，着重于结合函数图象分析变量间的函数关系式，从而对变量的变化规律进行初步预测。同时设计例题时还结合方程和不等式的知识，让学生感受函数与方程和不等式的联系。
二、教学内容分析
一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图像和性质在现实生活中有着广泛的应用。利用一次函数和正比例函数的图像解决问题是本章节的一个重要内容，这部分内容在中考中占有重要地位，经常与方程和不等式等内容联系起来考察。
三、教学目标分析
1、 知识与技能：经历将实际问题抽象为一次函数的过程，掌握一次函数的基本知识和基本技巧，并能解决简单的问题。
2、过程与方法：初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识；初步学会从函数的角度理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题。
3、情感态度和价值观：认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性及数学结论的确定性。
四、教学重难点分析
教学重点 结合对变量之间函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
教学难点 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。
五、教学过程设计
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教师活动 |
学生活动 |
设计意图 |
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郊游是大家最喜欢的活动。学校经常会组织大家郊游。在整个过程中有时我们会遇到选择旅行社、门票收费、购买纪念品等问题，大家有没有想过有些可以用我们已学的数学知识来解决呢？今天我们就列举几个例子，通过对它们的研究感受数学与生活的紧密联系。 例1、 假设今天我们到南京游玩。早晨从校门口出发，开车后爱动脑的***想了： 随着时间的流逝，我们距南京越来越近，那汽车行驶的时间和到南京的距离究竟有怎样的关系呢？（假设出发点距南京140千米，汽车行驶的平均速度是50千米/小时） 提示：1这个问题中我们主要关注的常量有哪些，变量有哪些？ 2为什么“到南京的距离”是变量？ 在这个变化过程中关注两个变量，其中一个变量（路程）随另一个变量（时间）的改变而改变，并且当变量（时间）确定时，变量（路程）有唯一的值与其对应，所以这两个变量之间存在函数关系。 3你能用式子表示出这个函数关系吗？（列函数关系式） 从解析式可以看出它是什么函数？（一次函数的一般形式y=kx+b） 4函数关系还可以用图像的方式呈现，你能画出此函数的图像吗？ 从图像我们也可以看出它是一次函数，因为一次函数的图像就是一条直线（射线/线段）。此题的图像是线段，因为自变量t有限制。所以实际问题中的变量通常会有取值范围，我们在解题时要多加注意。 例2、 南京的特产是盐水鸭，比较有名，**了解到某商店中盐水鸭的日销售量y(袋)与销售价x(元)之间的关系如下表：
如果y是x的一次函数，盐水鸭的成本是20元，那么当销售价为30元时，一天能赚多少钱？ 提示：1要能计算出盈利，你需要知道什么？ 2怎样求出售价是30元时的销售量y？ 3如何求y与x的函数关系式？ 请你完整地解决这个问题 例3、 游玩珍珠泉时，两位同学各租了一条小船。若用 S（千米） t（分钟） O 10 22.5 .5 7.5 0.5 3 1.5 lB lA （1）你能从图像中得出哪些信息？ （2）如果B同学中途没有停留，保持原来的速度划船，则只需多少分钟就能追上A？ 你会在图中表示出这一时刻吗？ 提示：从图像中我们可以看出B追上A的概况（两条射线的交点），但要准确的知道时间或路程就需要知道交点的坐标。如何求交点坐标？ 例4、 回 你知道老师最终选择了哪家旅行社吗？ 提示：1你认为该老师是按照怎样的标准选择的？ 2哪家费用低呢？ 3这里有两个变量，我们可以用哪方面的知识来研究他们之间的关系呢？ 人数的不同使得所收费用不同，所以变量（人数）与变量（费用）之间存在函数关系。 4怎样比较与的大小？ 课堂小结 1、 函数是刻画显示世界中数量变化规律的重要数学模型，一次函数反映了均匀变化的规律，希望大家今后能多用函数的观点去看待生活中的实际问题，用函数的知识解决某些实际问题。 2、 解决函数问题主要有哪些方法： 1从数的角度常用待定系数法求函数关系式，也可以借助方程、不等式的知识解决 2还可以借助函数图像解决函数问题 |
学生看PPT思考 常量：140千米、平均速度50千米每小时 变量：时间、到南京的距离 因为到南京的距离会随时间的增加而缩短 解：设汽车行驶的时间为t（小时），我们到南京的距离为s（千米），由题意得： s=150－50t(0≤t≤3) 一位学生板演，其余同学操作 获利=每袋的利润×袋数 先求函数关系式 待定系数法（可以用第3组值检验） 解：设y=kx+b(k≠0)， 55=50k+b 解得 B=130 ∴y = -1.5x+130 当x=30时，y=-1.5×30+130=85 利润 （30-20）×85=850（元） 答：当售价是30元时，一天能赚850元。 学生互相讨论
25=3k+b b=10 ∴y=5x+10 设： lB :y=kx，经过点（0.5，7.5） 7.5=0.5k k=15 ∴y=15x 由题意得 Y=15 Y=15x 答：如果B同学中途没有停留则只需1 分钟就能追上A 选择费用低的 不知道，因为人数不确定 函数关系 学生会用函数的方法来解决 学生在笔记本上完成此题，一个人上黑板演示 也可以用不等式来解决，点到为止 |
此题是最基本的根据题意列代数式从而建立函数关系式，通过画函数图像使学生对实际问题中自变量的取值范围有进一步的理解并加深印象。 此题通过设计学生较感兴趣的“赚钱”问题，让他们感受到要想知道答案得先求出函数关系式，进一步体会函数的含义（当变量x的值确定时，变量y有唯一的值与其对应）及用函数解决问题的必要性，同时复习了求函数解析式的重要方法——待定系数法。 此题主要考查学生从函数图像中提取有用信息并加以处理，从而作出决策和预测。第二小题通过复习“求两条直线交点坐标”的方法，将二元一次方程组与一次函数联系起来，让学生再次体会其内在联系（一元一次函数关系式与二元一次方程可以互相转化；一元一次函数图像是一条直线，由无数个点组成，对应与二元一次方程的解有无数组；两条直线的交点只有一个，对应与二元一次方程组的解只有一组。它们是一一对应的关系。） 此题是典型的“选择方案”问题，但没有直接给出变量x和y，而是让学生自己找出变量设未知数，从而经历简单的数学建模过程。学会当自变量不确定时可以借助函数图像比较大小，同时也将不等式与函数联系起来，让学生感受它们之间的联系 |
六、教学反思
本节课讨论了一次函数的某些应用，在这些实际应用中，备课时注意到与学生的实际生活相联系，切实发生在学生的身边的某些实际情境，并且注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释，用以加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系。本节的主要内容是让学生逐步形成用函数的观点处理问题意识，体验数形结合的思想方法。
教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解（这是什么？可以看成什么？），让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。
本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性。在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择解决问题的办法。
本节课也存在一些应该深刻的反思和改进的地方。例如在探究活动中有些问题处理的有些仓促，有些问题的指向性有些太明确，需要今后加强。另外，今后教学中还应该更多地关注学生的发展和提升。多用幽默和鼓励性的语言激励学生。
总之，本节课着力做到课堂是数学活动的场所，是师生共同成长的基地，是学生张扬自我舞台
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