《从面积到乘法公式》的教学方案设计

学科：数学   作者：孙文璟

一、课题预复习

(一)、知识网络：（请补充完整）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（二）、知识点：

1、  单项式乘单项式：

        单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单

项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、  单项式乘多项式：

        单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。

        m(a+b－c)＝ma+mb－mc

3、  多项式乘多项式：

        多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

    再把所得的积相加。

  (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

4、  乘法公式：

①     完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²； (a -b)²=a²-2ab+b²

②     平方差公式：  (a+b)(a-b)=a²-b²

    如：-2x⁵y+4x³y³-2xy⁵=-2xy(x⁴-2x²y²+y⁴)=-2xy(x²-y²)(x²+y²)=-2xy(x+y)(x-y)(x²+y²)

5、  因式分解：

（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别

     简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。

（3）因式分解的方法：

①提公因式法；        ②运用公式法。

6、因式分解的应用：

（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。

（3）用提公因式法时的注意点：

①   公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。如：

4a²(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；

②   当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。如：-2m³+8m²-12m= -2m(m²-4m+6)；

③   提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。

（4）运用公式法的公式：

①   平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

②   完全平方公式： a²+2ab+b²=(a+b)²          a²-2ab+b²=(a-b)²

   （5）因式分解的步骤和要求：

          把一个多项式分解因式时，应先提公因式，注意公因式要提尽，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。

如：-2x⁵y+4x³y³-2xy⁵=-2xy(x⁴-2x²y²+y⁴)=-2xy(x²-y²)(x²+y²)=-2xy(x+y)(x-y)(x²+y²)

二、教学目标：

1、梳理全章知识结构，使学生系统地把握全章知识。

2、复习整式乘法、乘法公式和因式分解的内容，能熟练地进行基本运算或变形。

3、通过对主要知识点回顾，对易错、易混点分析，进一步提高学生的知识技能。

4、通过探索、合作、交流活动，培养学生团结、协作精神。

5、通过做一做，使学生感受到整式乘法与因式分解具有相同的几何背景，提高对两者关系的认识高度，从而培养学生“两分法”看世界的观点，使学生初步感受矛盾对立统一的辩证思想。

6、在教学过程中和阅读材料里，渗透类比、转化等数学思想以提高学生数学素养。

三、重难点：

1、能准确理解整式乘法和因式分解的关系，能准确规范地进行基本的整式乘法运算，能准确规范地用提公因式法、公式法分解因式。

2、通过操作理解整式乘法与因式分解的几何背景，感受数、形结合思想，进而抽象到用“两分法”看世界。

3、理解整式变形中蕴含的数学思想、方法，培养初步推理能力。

四、教学过程

1、你能用含有 , 的代数式表示着些图形的面积吗?你有几种表示方法?有何发现?

 

a

b

c

d

a-b

b

b

a-b

a

a

a-b

b

b

a-b

a

a

 

 

 

 

 

 

                                           

 

 

 

 

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

                                                  

2、你能说出(－2)²⁰⁰⁵+(－2)²⁰⁰⁶的结果吗？

设计意图：让学生体会因式分解合理性、实用性。

思考在解题过程中你用了什么方法？这种方法的要点是什么？在使用这种方法时，要注意哪些问题？

3、小明、小丽、小亮三人做游戏，小明、小亮一人手里拿一块正方形纸片。小明说：我这块纸片边长比小亮的大2cm，小亮说：我这块面积比小明的小20cm²，现在，让小丽猜他们两人手中的正方形纸片边长各是多少？

你能帮助你小丽解决这个问题吗？

设计意图：让学生讨论、交流，确定解决策略，建立数学模型后得出方程(x+2)2－x2=20，可能不困难，要重点关注下面的变形，有的用完全平方公式展开后合并、化简的解；有的是用因式分解变形，教学时要鼓励学生用不同的方法以达到复习目的。思考：

刚才的解题过程中，用了哪些方法？引出乘法公式和因式分解。你能说说整式乘法和因式分解的关系吗？

4、下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？

(1)8a²b³c=2a²b·2b³·2c             

(2)3a²+6a=3a(a+2)

(3)x²－ =(x+ )(x－ )

(4)x²－4+3x=(x+2)(x－2)+3x

(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)

(6)(2a+5b)(2a－5b)=4a²－25b²

5、下列变形中，因式分解对不对？为什么？

(1)x²y－xy²=xy(x－y)    

(2)a³－2ab+ab²=a(a－b)²=a(a²－2ab+b²)

(3)6²ab－4ab²+2ab=2ab(3a－2b)

(4)4a²－100=(2a+10)(2a－10)

(5)a²－b²=(a－b)²

设计意图：让学生进一步概念辨析

6、因式分解(x+a)²－(x－a)²

7、分解因式

(1)x(x－y)+y(y－x)          (2)16a²b－16a³－4ab²

8、计算

 (1)                   (2) (2+1)(2²+1)(2⁴+1)…(2²ⁿ+1)

9、拼图探求相应等式

（1）、用边长分别为a、b的正方形纸若干和边长为a、b的长方形纸片若干，你能拼成面积是 长方形吗？画出图形。并思考长方形长宽分别是什么？你会将多项式 分解因式吗？

（2）、用边长分别为a、b的正方形纸若干和边长为a、b的长方形纸片若干，你能拼成其他的长方形吗？并探求写出相应等式。

（3）如图：用两个边长为a、b、c的直角三角形拼成一个新的图形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？

 

 

设计意图：这一组题目旨在让学生理解整式乘法与因式分解区别，另一方面通过对有关等式的推导去体会转化的数学思想。

五、小结：

1、整式乘法与因式分解的关系。

2、因式分解的一般步骤：一提，二套，三查。

3、本章有哪些容易混淆，出错的地方。

六、反思：

本节课通过对主要知识点回顾，对易错、易混点分析，进一步提高学生的知识技能。

使学生感受到整式乘法与因式分解具有相同的几何背景，提高对两者关系的认识高度，从而培养学生“两分法”看世界的观点，使学生初步感受矛盾对立统一的辩证思想。

在教学过程中渗透类比、转化等数学思想以提高学生数学素养。