从一道例题引发的思考
——谈数学教师的专业发展
（ 徐明怡 常州花园中学 213016 ）
[摘要]由对一道数学例题的反思与再创造延伸引发对教师专业发展的思考，本文总结了持续学习，专业发展前提准备；加强实践，帮助专业发展；客观反思，加速专业发展；再实践，完善专业发展，作为一个循环，帮助教师促进专业发展。
[案例] 苏科版八年级上册2.7《勾股定理的应用》
例二：如图：长为10m的梯子AB斜靠在墙上，
梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子
的顶端下滑1m，那么它的底端是否也滑动1m？
（这是一道课本例题，每个教师对它都不陌生，八年级同学接触运动题目的经验并不丰富）
师：当梯子AB静靠在墙上时，形成一个怎样的几何图形？
生：梯子AB、墙面AC、地面CB组成了一个直角三角形△ABC，∠C=90°。
师：非常好！那能说说Rt△ABC中，已知哪些边长，未知哪些边长吗？
生：Rt△ABC中∠C=90°,已知AC=8m，AB=10m，未知BC的长。
师：BC 的长可以求吗？利用什么方法求？
生：可以求，利用勾股定理
师：梯子静止状态结束了，梯子顶端开始向下滑动，这是一个运动的过程，你能发现运动的过程中，什么发生了改变？
生：AC变了，BC也变了，梯脚向右滑了。
师：好，在运动中我们发现梯子顶端距地面垂直距离AC变了，梯脚与墙角的水平距离BC也变了，那有什么没有变的吗？
生1：梯子AB长度未变。
生2补充：还有三角形仍是直角三角形。
师：大家都说得很好。若假设A滑到了A’的位置，B向右滑到B’的位置，新的Rt△A’B’C’中，已知哪些条件？由此还能求出什么？
由此可求出CB’=
因为
所以梯子的顶端下滑1m，它的底顶不是滑动1m.
讲解完例题之后，我安排学生巩固练习书上P66页练习2：本节例2中，如果梯子顶端下滑2m，那么它的底端是否也滑动了2m？
在课前对作业的安排设计中，预设学生都应该模仿例题完成练习，这只是一个模仿的过程，我根本没有预想会出现其它情况。批改作业中却发现了意外，在一个班中竟有三个同学出现了不同的解法，他们没有像其他同学一样模仿例题解练习，而是将例题重新解答，最后下结论：因为梯子顶端下滑1m，它的底端不是滑动1m，所以同理梯子顶端下滑2m，它的底端也不是滑动2m。学生产生错误的原因，极有可能这两个同学在例题学习过程中形成了”梯子顶端下滑的距离与底端滑动的距离是不等的”这一错误结论。反思作为教师的我在讲解例题时，的确把例题讲解清晰了，却未设计到学生可能产生的错误，绝大部分同学虽然作业做对了，但他们中是不是也有相当一部分学生产生了类似的疑问：为什么下滑1m，它的底端不是滑动1m，而下滑2m时，底部却是滑动了2m，是巧合还是一定？其它情况时又是怎样呢？
在实践中发现了问题，在反思中明白了这一例题我的讲解并未结束，作为例题的扩展，针对例题和练习，在《勾股定理的运用》第二课时，我设计了问题：通过计算昨天的例题与练习，我们发现下滑1m，它的底端不是滑动1m，而下滑2m，底部却是滑动2m，，结论是下滑1m的情况与下滑2m的情况不同。那么除了2m以外，梯子顶端下滑多少距离时，梯子底端也恰好向右滑动相同的距离呢？分析这题，运动中的变量与不变量并未发生变化，而此题却与方程的思想结合在了一起。
解：设点A向下滑xm至A’点，则B向右也滑动xm至B’点，Rt △A’B’C中，∠C=90°，
所以
解得x=0或x=2
所以除了2m以外，梯子顶端向下滑动距离不可能与底顶向右滑动距离相同了。
一道课本例题让我经历了实践、反思、再实践这样一个过程，将一题举一反三，将知识向横向、纵向联系使我感受到课本中的一些例题，看似平常，提出的问题也比较明确具体，但在教学中仔细分析挖掘会发现，其实例题背后有着丰富的内涵。这些内涵，作为学生是很难自觉地发现，所以只有通过教师的研究，然后进行创造性地再加工才能体现。而教师要想具备这样较高的专业素养，是和平时注重专业发展密不可分的。教师的自身发展是可持续的一个动态过程，因此，当代教师必须树立正确的发展理念，持续学习——实践——反思——再实践，以上循环不失为一条实际可行的操作链，以此满足专业发展的需要。
一． 持续学习，专业发展前提准备
学习是源泉，利于更新思想，提升教育理念，实现自我超越。虽然曾经的学习经历给予了每个教师比较系统的职前培训，但是课程改革如此迅速，教师的职业内涵也在不断变化并不断增添诸多新的内容，显然加强有效持续的学习是非常必要的。
（1）学习教育教学理念
随着社会进步，人们对教师的期望也在不断提高，过去人们常将“教师”看成是“教书匠”，即教师只要能灌输给学生知识就可以了；而现在根据素质教育的要求，不仅要传授一定的知识，而且还要育人，以高尚的人格来塑造学生的人格。为了能更好的适应教育教学的需要，成为一名学习型的教师已是大势所趋。教师应该要确立现代化的学习观，通过不断的学习来更新观念、充实知识、掌握方法，更可以有新的尝试。新课程标准的实施，更让教师确认了自己新身份，成为学习的组织者，认同学生的学习主体地位，尊重学生的主体性，为学生的自主学习创造条件，引导学生根据兴趣自主探究，发现问题，从而解决问题。社会是不断发展的，教育教学理念也是不断变化的，任何一名教师要想在自身专业发展的道路上走的更远，必须保持与时俱进的终身学习观，勇于接受新观点，保持创新精神，不断超越自我才可能实现自身终身专业发展。
（2）学习巩固专业技能
新课程标准的指导下，教学教材中许多新的教育内容在不断地涌现，这就要求教师自觉跟上变化的步伐，不断进行自身知识结构的新陈代谢。作为现代教师，我们应具有不断更新自己专业技能的意识，追求新知，并有意识地运用于教育教学活动。要想自身的专业得到更好的发展，我们可以抓住平时专业培训的机会，拓展专业知识，加深对课程知识、学生知识和教学知识新内涵的深刻理解，甚至拓宽有关人文、科技、环保等方面的知识，以自己丰富全面的知识引导学生。教育教学中不光传统的教育教学基本功不容忽视，此外，要进一步提升专业技能，还得注重提高运用现代信息技术的能力，提高问题解决与行动研究等方面的能力，才能更好完成新课程标准提出的各种目标。
（3）学习如何自我评价
从时间上来看，教师接受培养和培训的时间是非常有限的，而与教师教学生涯伴随始终的教师的自我评价则要比它们长得多。提高教师自我评价的意识和自我评价的能力，能够有力地促进教师专业素质的提高，与此同时，教师自身评价能力的提高也会促进教师专业化的发展，因此，教师的专业化发展需要教师的自我评价。 “人贵在有自知之明”，确实要客观地对自身作一番评价是比较困难的。自我评价的前提是自己有自我评价的要求，让教师懂得只有通过自我评价的内化，才能从根本上认识自己的优势和不足，从而做到发扬优点、克服不足。其次要想进行客观的自我评价，还需要教师具有一定的自我认识能力，包括对自己的教学工作、专业水准、人际关系等多方面的素质和能力有所认识，尤其要充分认识到自己的能力缺陷以及工作中存在的问题；最后，还需要有一定的自我分析能力，分析自己的不足和存在问题的原因，才有可能找到实现自我提高的途径。
终身学习，可以适应未来教育的发展需要；创新学习，能够把知识转化成智慧，快速完善和更新自我，加快自身的专业发展的进程。
二． 加强实践，帮助专业发展
今天的教师不再仅仅是课程的消费者和被动的实施者，而在某种程度上成为课程的生产者和主动的设计者。为了更好的在新课程标准理念指导下专业发展，教师必须在实践中具备三个意识。
（1） 分层意识
新课程标准提出了一个重要的数学教育理念，即人人数学观。人人学有价值的数学让不同人在数学上得到不同的发展，承认学习上存在个性差异，承认差异才能使不同人得到不同的发展，使每一个人都能在学习上发挥他的才能，获得他应该得到且能够得到的数学知识。人人数学观要求教师要具有分层意识，在教学过程中，对教学内容、速度、方法的安排都因人而异使之符合不同层次学生实际学习的可能性，使全体学生都得到全面的发展。例如例题教学中第一问：告之梯子顶端具体下滑的距离，然后求问梯子底端向右滑动的距离是否一样？本小题作为勾股定理的应用显然是要求所有学生都能掌握的，教师讲解时要讲细讲透，课后再辅助作业巩固，让绝大部分学生都能掌握。作为例题的延伸，将例题再创造性地提问：梯子顶端在下滑多少距离时，底端会向右滑动相同的距离？问题将勾股定理和方程建立了知识与知识之间的横向联系，形成了知识之间的相互渗透，但作为教师我们也应该看到其中解方程部分的知识技能对于部分学生还是有相当困难的，所以在分层教学的理念下，教师不必强行要求每个学生都能掌握。
（2） 问题意识
问题意识是指人们在认知活动中，活动主体对既有的知识经验、和一些难于解决的问题所产生的一种探究的心理状态。一方面教师应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索交流，获得知识，形成技能，发展思维。另一方面教师又不能仅仅关注问题的解决，还得兼顾培养学生提出问题的意识和创新精神的培养，鼓励学生不断地提出问题解决问题。
（3）创新意识
教师的教学是一门实践的艺术，教学观念的更新、教学实践能力的提高，是在日常的教学实践中不断完善的。我们在教学实践中发现问题，采集数据，既是课程的实施者，同时又是课程的开发者。在实践的过程中，教师应该根据实际情况对教学内容、教学程序、教学策略等的选择进行再创造，通过自己再创造的过程，努力使自身成为具有创新意识的课程发展者。
三． 客观反思，加速专业发展
对于教师的成长和发展过程，波斯纳（Posner）有一个十分经典的公式：成长＝经验＋反思。成功的教学反思在教师专业发展历程中起着巨大作用。具备一定的教学反思能力是一个优秀教师必备的基本素养之一，认识自己的不足才能追求更高层次的完美。教学作为一门科学，借助反思可以使自己的教学行为更符合科学规律，实现教学过程的最优化和教学效益的最大化。青年教师可以通过下列两种途径进行最直接的反思。
（1）通过自评开展发思
教师的自我评价即为评价中的“自评”，是一种通过认识自己，分析自我，从而达到自我提高，最终促进内在素质提高的方式，它可谓是一种教师专业自主发展的内在机制。自我反思是多方面的，可大可小，可以是教学理念的反思；也可以是教学手段的反思；可以是这堂课的引入方式反思；甚至可以是教学中某句话或某个提问是否恰当的反思。它是对自己过去所上过的一节课的梳理，运用自己所拥有的知识对自己的教育实践进行多层次、多角度的分析，看看自己过去的课成功在哪里，失败在哪里，发现其中的长处与不足，对自己的实践有一个理论上的理解或解释，为以后的改进作好准备。最终成为一个对自己实践不断反思的“反思实践者”。此外反思利于对自己的实践有一个理论上的理解或解释，探索理论转化为实践的可行途径，又力争把成功的教学经验上升为教学理论。例如在本文开头的例题教学中，在发现学生问题后及时反思并对例题作创造性地改编是收到较好效果的。本次八年级期中试卷上第22题是课本例题结合课后习题组合而成的题目，而考后试卷分析中，调查发现此题班级学生的得分率达到了96%以上，而且试卷上也未出现一例作业中的错误，说明我班级学生对这道例题的理解与体会是比较深刻与到位的。考试之后，我还在班级学生中针对这题作了调查，调查结果中有23%的学生（基本这部分学生数学基础都比较好）在解题中尝试运用了方程的方法检验了答案，这说明例题与例题的延伸教学都取得了很好的效果。不容质疑课本例题的设置是使学生的数学知识转化为数学能力的重要环节，而作为教师教会学生解题只是一个过程，而教学中最关键的是要努力提高每一道题的功效性。
（2）借助外力加深发思
合作是外力，利于交往互动，和同行之间经常开展深度汇谈，整合团体智慧，帮助发展；初此之外，结合学生的反馈表现也是青年教师加速专业发展的一条捷径。
其一教师可以借助同事之间的集体备课，课后研讨加以反思。通过集体备课可以整合团体智慧，形成高质量、高水平的教案。但教师也不能一味的沿袭他人的教学思路，要想真正有效的利用集体备课，应该在个人自备的基础上再参加集体议课，在集体议课过程中交谈自己的观点、困惑和建议，也倾听别人的看法、想法和感受，在议课中形成比较完善的教学思路，接下来再对集体议课后所形成的参考教案进行个性化修改，形成符合自己和本班学生实际的教案。互动研讨也是一种合作性的教研形式。一方面经常组织参与集体性听课活动，在讨论中把自己听课的收获、感悟和困惑都提出来，就大家共同关注的问题与其他教师一起探求解决的方案，分享了别人的经验，分析别人的成功与不足，转化为自我的实践，取长补短。另一方面有机会更要多邀请有经验的教师和专家来听课，诚恳的听取他人对自己的建议，共同分析教学实践中的问题和疑惑，接受他人正确的建议，以此获得专业引领。
其二借助学生的各方面反馈情况加深反思。许多时候同行之间的听课评课不能节节落实，但我们教师每节课都有一群最好的听课评课者——我们的学生往往被我们忽略了。教师课堂教学情况调查，最准确的方法莫过于学生们的情况反馈了。在本文例题教学中，如果不是学生作业中的错误给我了提示，让我意识到这道例题的功效性并为完全发挥，我可能就不会将本题创造性的延伸，也就达不到最后比较好的考试反馈了。
四． 再实践，完善专业发展
我们经常听到“问题从反思来”、“反思重在改进”的思想，可见反思决不是教师一次教育教学工作的终点，反思不能只停留在对教学实践行为、教学经验的反省，更重要的是指向未来教学实践工作。反思结果要落实，显然教师必须通过再实践来弥补上次教育教学工作中的不足。在对上次教学设计、教学策略的选择、教学效果的评价等内容反思的基础上，教师可以是对教学内容进行改造和重组，对教学模式进行重新构建，对教学的组织形式再编排，对教育技术与教学内容重新整合，以达到优化教育教学过程的目的。同时教师还可以再次充分发挥自己的主动创造性，在教学过程中形成自己的研究共同体，主动构建自身的知识体系并与教学实践形成良性互动，依靠自己的思考和决策，创造出体现自己个性和特色的教学风格、教学艺术和教学智慧。例如案例中当学生作业中出现问题时，如果教师没有加以反思，把例题延伸后再实践，而是仅仅把它作为一道作业错误评讲或者是干脆就只对学生加以错误提醒，那么学生对本道例题的体会显然不会这么深刻了，也少了一次知识之间横向联系运用的机会。
教师专业发展是一个持续不断的过程，教师专业化也是一个发展的概念，既是一种状态，又是一个不断深化的过程。要想在专业发展的道路上走的更远，每个教师必须保持一个主动的地位。
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