数学思维

思维是认识世界和改造世界的主观动力，而数学是思维的体操，数学活动的核心是数学思维活动，本节特别对有关数学思维的基本问题进行讨论。

一、数学思维概述

1．思维、数学思维及其特征

（1）思维的意义与特征

思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系的概括和间接的反映，是宇宙中物质运动的基本形式之一，是高级的理性认识活动。

思维的最显著的特征是概括性。即思维所反映的是一类事物所共有的本质特征及事物所具有的普遍或必然的联系。可以说，概括水平是衡量思维水平的重要标志。思维的另一个特征是间接性，是通过其他事物的媒介作用来反映客观事物的，正是由于这个特征，人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反应，使人的知识范围扩大、延伸，并可预测未来。这两个特征的结合，并在主体知识经验的基础上，可以使思维不断深化，思维水平不断提高。

（2）数学思维的意义及特征

数学思维是以数与形及其结构关系为对象，以数学语言与符号为载体，并以认识发现数学规律为目的的一种思维。

首先，数学思维具有一般思维的特征，同时由于数学自身及其研究方法的特点，数学思维还具有不同于其他思维的独特风格，主要是抽象性，严谨性，整体性，相似性，问题性和语言符号化。

高度的抽象性是数学的显著特点之一，这种高度的抽象性舍弃了事物本身的一切自然性质，只保留了模式关系与次序，数学思维的逐次抽象使其抽象程度大大超过了自然科学中的任何一种抽象。正是这个特征，为认识掩藏很深的事物的本质和一般规律提供了可能，而且对认识和理解无穷、广泛应用数学于其它领域有很大的帮助。

严谨性也是数学的显著特点之一。数学思维的严谨性是指思考问题符合逻辑且严密、准确，数学运算精确无误。爱因斯坦曾说：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠和无可争辩的”。这正是由数学思维的严谨性保证的。

数学思维的整体性主要表现在它的统一性，数学本身就是用统一的理论概括零散的事实，把概念、理论及看似互不相关的东西在同一的理论体系之中表述，而一个体系的建立常常是从一组公理出发形成的整体性的逻辑的演化与组合。

数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。它普遍存在，表现有几何相似，关系相似，结构相似与实质相似，还有静态相似与动态相似等。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。

数学思维的问题性与数学科学的问题性相关，数学科学的起源和发展都是由问题引起的。数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。因此，问题是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。

数学符号是数学抽象思维的产物，数学符号是数学语言的一部分，它是认识数学世界奥秘、进行数学活动与思想交流的工具。科学理论的数学化已成为现代科学发展的一大特点，其关键就是建立适当的数学模型，借助数学概念和符号建立数学关系结构，使思维可以在形式化的方式下进行计算和推演，从而达到约简推理步骤，加速思维进程的目标。

2．数学思维的结构

数学思维的结构是一个多因素的动态关联系统，这个系统由数学思维的内容，数学思维的类型，数学思维的品质，数学思维的方法四个方面组成，它们的不同成分和不同层次相组合，可以形成不同类型的数学思维方式；它们之间的相互作用就构成了数学思维能力，而数学思维能力则是各种数学能力的核心。

数学思维的内容是指数学思维的材料与结果。数学思维的材料包括外部的和内部的。外部的如数学概念、命题、定理、公式、法则，数学问题中的图形、符号及语言文字等，内部的指思维者已有的数学知识基础和处理外部材料的经验，存储于人脑之中。数学思维的结果是数学思维的精神文化产品，即数学知识、数学经验和心智技能，数学课程、数学科学等各种文化表现是数学思维结果的集中表现。应该明确，数学思维的材料与结果是相互联结，相互为用的，其先行结果是思维的后续材料。二者均为数学内容的同一的不同侧面。

二、数学思维的基本类型

从思维活动的总体规律来考察，数学思维的基本类型大致可分为三种。即：逻辑思维、形象思维和直觉思维。在此基础上可以形成更高级的数学思维——数学创造性思维。

在数学思维的三种基本类型中，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心，直觉思维则是两种思维的结合到一定程度后的一种质的飞跃。

1．数学逻辑思维

数学逻辑思维也称数学抽象思维，它是借助数学概念、判断、推理等思维形式，通过数学语言（包括符号、图形、自然语言等）来反映数学对象的本质和规律的一种思维。

数学逻辑思维不仅包括形式逻辑，数理逻辑，还包括辩证逻辑，基于以上各种逻辑规律而发展起来的数学思维是一种科学的理性思维。

形式逻辑是由概念、判断、推理三种主要思维形式和四条基本思维规律（同一律，矛盾律，排中律，充足理由律）所组成，是关于思维形式和思维规律的科学。它能使思维具有条理性，使人们在明确概念、恰当判断的基础上，经过逻辑推理，得出正确的结论。

数理逻辑以数学的方法研究逻辑，通过建立谓词演算和命题演算系统，把逻辑证明变成了一系列的符号推演，从而使数学思维可以在其推理过程中以完全形式化的方式进行。现代数理逻辑的四大分支——公理化**论，证明论，模型论和递归论把数学思维的抽象性和严谨性更推上了一个新的高度。

辩证逻辑是形式逻辑的深化和发展，它与形式逻辑的不同点在于它是按照发展变化的观点，依照辩证逻辑的规律去认识事物和思考问题的，辩证思维的特点在于它能理解精确的结论与可能性结论之间的差异，对有限与无穷中的对立和同一有清楚地认识。

2．数学形象思维

数学形象思维是借助数学形象或表象反映数学对象的本质和规律的一种思维。

形象思维中所指的形象是反映于人脑中的客体的映象，这种映象可以以物化的形式再现出来，并被人所感知。形象可分为三个层次：感觉形象，是外界事物的现象反映在人脑中的映象，如视觉形象、听觉形象、感觉形象等；实践形象，它是许多映象的**；观念形象，它是通过人脑加工改造而成的理想形象，它以形象形式反映事物的本质，前两个层次具体直观，后一个层次则渗入了抽象的逻辑因素，与此相对应的形象思维分别叫做具体形象思维和观念形象思维。

数学形象是经过人脑加工而产生的理想形象，数学形象思维是通过数学理想形象来把握数学对象本质规律的一种思维，属于观念性形象思维。

3．数学直觉思维

数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速作出估断的一种思维。这种思维形式，以高度省略、概括、浓缩的方式洞察问题的实质。它由潜意识参与活动，不受逻辑规则约束，是一种非逻辑思维活动，非逻辑性是它的最显著特征。此外，还有直接性、整体性、或然性、不可解释性等特点。

（1）直接性。它直接反映数学对象、结构以及关系，表现为对认识对象的直接领悟或洞察，跳过了许多中间步骤或细节，从整体上直接把握问题的本质和联系。

（2）整体性。指思维结果的整体性认识，尽管它的某些细节可能模糊不清，但整体画面却一览无余。

（3）或然性。“得来全不费功夫”，带有偶然的成分，是猜测的“战利品”，重点是猜出结论，而非证明猜想。当然，任何通过直觉思维得出的结果，都需要经过严格的逻辑检验与证明。

（4）不可解释性。由于直觉思维在刹那间完成，其过程不清晰，想了解来龙去脉并不容易，想说出理由也很困难，故给人一种“神秘感”。

数学直觉思维一般有两种形式，数学直觉和数学灵感。

数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式。高度的直觉来源于丰富的学识和经验，一个人只有有了足够的知识和丰富的经验，才可能产生直觉。当然，直觉的真正产生，还需要深入地、联贯地思维，运用知识和经验，对思维对象作深入地加工。

数学灵感。灵感也叫顿悟，是在创造活动中由于思想高度集中，情绪高涨而持之以恒的冥思苦索之后“茅塞顿开”，一举解决了百思不得其解的问题，常常是在某个适宜的环境或事物的启迪下，突然闪出的一个念头。它是人的显意识与潜意识的“忽然接通”。

数学直觉与数学灵感是数学直觉思维的两种形式，其间有着深刻的本质联系：灵感是直觉的更高发展，是在多次直觉受阻后不自觉地转入潜意识加工，最终又跃入显意识爆发顿悟而形成的结晶。俄国画家列宾说：“灵感是对人的艰苦劳动的一种奖赏”，它说明了灵感的来之不易，也说明了人们获得灵感的喜悦。

三、数学思维的品质

数学思维品质就是在数学思维的发生与发展过程中的个体所表现出来的智力与非智力的特征。数学思维品质反映了个体间数学思维发展水平的差异，是衡量一个人数学思维优劣，判断一个人数学能力高低的主要标准。数学思维有自己独特的特点，它们是由所研究的对象的特点和研究方法的特点决定的。根据数学思维的特点，以下就对数学思维而言较为重要的数学思维品质进行讨论，它们是深刻性、广阔性、灵活性、批判性、目的性、创造性、敏捷性。

1．思维的深刻性

数学思维的深刻性，是指在分析、解决问题的过程中，能够透过事物的表面现象认识和把握问题的实质及其相互关系，正确揭示现象背后的规律，从复杂多变的现象中追根求源，或将已有结果变换、推广，得到更深刻的结果。思维的深刻性是一切思维品质的基础。

2．思维的广阔性

思维的广阔性，又称思维的发散性，即善于全面地看问题、思路开阔、多角度探求、多方面思考问题的一种品质。在思维活动中，它的表现是既注意把握事物的整体，又不忽视重要的细节，能够从广阔的层面上捕捉有效的信息，广泛地对比、联想，不但能研究问题本身，而且能研究相关的问题，做到一题多解或一法多用。例如，数学中的“1”是一个最基本的数，它看来简单、明确，但它的许多变式，却使它又变幻难测了。

3. 思维的灵活性

数学思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能依据客观条件的变化及时调整思维的方向、摆脱思维定势的影响、灵活地运用有关知识、多角度寻求解决问题的途径的能力。思维的灵活性有以下特点：

（1）思维起点的选择灵活，能从不同角度或方向，运用多种方法；（2）思维过程灵活，遇机而变、随时调整方法技巧，不拘一格；（3）概括、迁移的能力强，运用规律熟练；（4）善于组合分析、思维有弹性、能跳跃；（5）思维的结果深刻，有较高的水平。

思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维的深刻性结合，构成了思维的机智，常可导致发明创造，爱因斯坦把它看作是创造性的典型特点。思维灵活性的反面是思维的呆板性，循规蹈矩，缺少应变能力，呈现出消极的思维定势。

4．思维的批判性

数学思维的批判性，是指在思维活动中独立思考，善于提出疑问，敢于发表不同的看法，严格客观地评价思维的结果和精细地检查思维过程的品质。这种品质表现在数学学习中，就是善于发现问题，善于明辨是非，不迷信书本和专家，敢于向教师提出质疑，善于自我检查验证，不随波逐流，人云亦云，严格按科学的标准进行鉴别。

5．思维的目的性

数学思维的目的性是指在思考问题时方向集中，任务明确，不偏离目标，围绕思维目标做出策略决断并选择最佳途径。由于数学解题策略的选择带有一定程度的猜测性，较多地依据直觉思维的活动。强调思维的目的性，就是要努力寻求每一步变形、化简都是通向成功之路的必要环节，一切都是围绕如何达到问题目标而展开。

6．思维的创造性

数学思维的创造性，是指思维的结果相对于已有的认识成果来说，具有独特性和新颖性，这是思维品质中最宝贵的品质。数学思维中表现为独立地发现问题、解决问题、勇于创新、敢于突破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和采用新的方法。一般地说，数学思维的创造性并不是数学家创造发明数学的思维活动，它是可以通过有效的训练加以培养的。